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(2024重庆中考B卷26题)

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．

（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；

（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM=CN+

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BD

（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出

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的最大值．

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解(1)证明：∵AE⊥CD，∴∠ACD+∠CAE=90°，∠ACD+∠BCD=90°，得∠CAE=∠BCD，又CA=CB，∠DBC=∠ACE得△ACE≌△CBD，BD=CE,而E为CB的中点，故CB=2CE，CA=CB=2BD即AC=2BD

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(2)过点G作CH⊥AB于点H，连接HF，F为AD的中点，故AF=DF，又BD